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- 서문 18
- 감사의 글 28
- 기호설명 32
- 입문 37
- 1장 과학의 뿌리 45
1.1 이 세계를 지금과 같은 모습으로 만든 힘의 원천은 무엇인가? 45 / 1.2 수학적 진리 48 / 1.3 플라톤의 ‘이상적 수학세계’는 정말로 존재하는가? 52 / 1.4 세 가지 세계와 세 개의 미스터리 59 / 1.5 선과 진리, 그리고 아름다움 65
- 2장 고대의 정리와 현대의 질문 70
2.1 피타고라스의 정리 70 / 2.2 유클리드의 공준 75 / 2.3 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 증명 79 / 2.4 쌍곡기하학과 등각표현 82 / 2.5 쌍곡기하학의 다른 표현법 88 / 2.6 쌍곡기하학의 역사 94 / 2.7 물리적 공간과의 관계 100
- 3장 물리적 세계에 존재하는 수(數) 108
3.1 피타고라스에게 닥친 대 재난 108 / 3.2 실수체계 113 / 3.3 현실세계에 존재하는 실수(實數) 121 / 3.4 자연수는 물리적 세계 없이도 존재할 수 있을까? 125 / 3.5 물리적 세계에 존재하는 불연속 수 128
- 4장 마법 같은 복소수 137
4.1 마법의 수 ‘i’ 137 / 4.2 복소수를 이용한 방정식 해법 141 / 4.3 멱급수의 수렴 145 / 4.4 캐스퍼 베셀의 복소평면 151 / 4.5 만델브로트 집합 155
- 5장 로그, 지수, 제곱근의 기하학적 성질 159
5.1 복소대수의 기하학적 성질 159 / 5.2 복소 로그함수 165 / 5.3 다가성(多價性, multiple valuedness), 자연로그 168 / 5.4 복소지수 175 / 5.5 현대 입자물리학과 복소수의 관계 180
- 6장 실함수의 미분과 적분 185
6.1 함수란 무엇인가? 185 / 6.2 함수의 기울기 189 / 6.3 고계 도함수: C^∞-매끈한 함수 191 / 6.4 함수에 대한 ‘오일러식’ 개념 197 / 6.5 미분과 관련된 공식들 201 / 6.6 적분 205
- 7장 복소함수의 미분과 적분 214
7.1 복소함수의 매끈함: 복소해석함수 214 / 7.2 경로적분 216 / 7.3 매끈한 복소함수의 멱급수 전개 221 / 7.4 해석적 접속 224
- 8장 리만 곡면과 복소사상 233
8.1 리만 곡면의 기본개념 233 / 8.2 등각사상 238 / 8.3 리만 구면 243 / 8.4 컴팩트 리만 곡면의 종류 248 / 8.5 리만사상 정리 252
- 9장 푸리에 분해와 초함수 258
9.1 푸리에 급수 258 / 9.2 원주 상에서 정의된 함수 264 / 9.3 리만 구면의 진동수 분할 269 / 9.4 푸리에 변환 274 / 9.5 푸리에 변환의 진동수 분할 276 / 9.6 어떤 함수가 적절한가? 280 / 9.7 초함수 284
- 10장 곡면 295
10.1 복소차원과 실차원 295 / 10.2 함수의 매끈함과 편미분 298 / 10.3 벡터장과 1-형식 304 / 10.4 성분, 스칼라곱 312 / 10.5 코시-리만 방정식 315
- 11장 다원수 322
11.1 4원수의 대수학 322 / 11.2 물리학에서 4원수의 역할 326 / 11.3 4원수의 기하학 329 / 11.4 3차원 회전 334 / 11.5 클리포드 대수 338 / 11.6 그라스만 대수 342
- 12장 n차원 다양체 350
12.1 고차원 다양체를 알아야 하는 이유 350 / 12.2 다양체와 좌표조각 355 / 12.3 스칼라, 벡터, 코벡터 358 / 12.4 그라스만곱 364 / 12.5 형식의 적분 368 / 12.6 외미분 371 / 12.7 부피요소: 합 규약 378 / 12.8 텐서: 추상-지표와 다이어그램 표기법 381 / 12.9 복소다양체 386
- 13장 대칭군 393
13.1 변환군 393 / 13.2 부분군과 단순군 398 / 13.3 선형변환과 행렬 404 / 13.4 행렬식과 대각합 412 / 13.5 고유값과 고유벡터 416 / 13.6 표현론과 리대수 420 / 13.7 텐서 표현공간: 가약성 426 / 13.8 직교군 433 / 13.9 유니터리군 442 / 13.10 심플렉틱군(사교군) 450
- 14장 다양체 위에서의 미적분 461
14.1 다양체 위에서의 미분? 461 / 14.2 평행이동 464 / 14.3 공변미분 469 / 14.4 곡률과 꼬임률 474 / 14.5 측지선, 평행사변형, 곡률 477 / 14.6 리 도함수 486 / 14.7 계량의 용도는 무엇인가? 496 / 14.8 심플렉틱 다양체 502
- 15장 파이버번들과 게이지 접속 507
15.1 파이버번들의 물리적 의미 507 / 15.2 번들의 수학적 개념 511 / 15.3 번들의 절단면 516 / 15.4 클리포드-호프 번들 519 / 15.5 복소 벡터번들과 공변 접번들 525 / 15.6 사영공간 529 / 15.7 자명하지 않은 번들 접속 535 / 15.8 번들 곡률 540
- 16장 무한대로 가는 사다리 550
16.1 유한체 550 / 16.2 물리학의 유한/무한 기하학? 553 / 16.3 다양한 크기의 무한대 560 / 16.4 칸토어의 대각 슬래쉬 565 / 16.5 수학의 기초를 위협하는 난제 570 / 16.6 튜링머신과 괴델의 정리 574 / 16.7 무한대의 크기 580
- 17장 시공간 587
17.1 아리스토텔레스의 시공간 587 / 17.2 갈릴레오의 상대성에 의한 시공간 591 / 17.3 뉴턴의 역학과 시공간 594 / 17.4 등가원리 599 / 17.5 카르탕의 ‘뉴턴 시공간’ 605 / 17.6 변하지 않는 유한한 광속 612 / 17.7 빛원뿔 615 / 17.8 절대시간 개념을 포기하다 619 / 17.9 아인슈타인의 일반상대성이론과 휘어진 시공간 624
- 18장 민코프스키 기하학 630
18.1 유클리드 및 민코프스키 4차원 공간 630 / 18.2 민코프스키 공간의 대칭군 635 / 18.3 로렌츠 직교성: ‘시계역설’ 638 / 18.4 민코프스키 공간의 쌍곡기하학 644 / 18.5 리만 구면의 관점에서 바라본 천구(天球) 652 / 18.6 뉴턴 역학의 에너지와 (각)운동량 657 / 18.7 상대론적 에너지와 (각)운동량 661
- 19장 맥스웰과 아인슈타인의 고전적 장(場) 670
19.1 뉴턴 역학과 동떨어진 곳에서 일어난 혁명 670 / 19.2 맥스웰의 전자기이론 673 / 19.3 맥스웰 이론의 보존법칙과 선속법칙 679 / 19.4 맥스웰장과 게이지 곡률 683 / 19.5 에너지-운동량 텐서 691 / 19.6 아인슈타인의 장방정식 696 / 19.7 우주상수와 바일텐서 702 / 19.8 중력장 에너지 706
- 20장 라그랑지안과 해밀토니안 716
20.1 마술 같은 라그랑지안 역학체계 716 / 20.2 더욱 대칭적인 해밀토니안 체계 722 / 20.3 작은 진동 726 / 20.4 심플렉틱 기하학적 관점에서 바라본 해밀토니안 역학 734 / 20.5 라그랑지안 체계에서 장을 다루는 방법 737 / 20.6 현대물리학의 라그랑지안 741
- 참고문헌 742
- 찾아보기 826
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